Systèmes dynamiques

Systèmes dynamiques en économie [L3 MASS]

Systèmes dynamiques

Module Ouvert - Deuxième semestre
Charge planifiée : Cours : 12 heures, TD : 12 heures

Enseignants : Michel Rascle (Responsable), P. Del Moral .

Objectif du Cours

Ce cours de Licence est consacré à la présentation de notions élémentaires de la théorie des systèmes dynamiques. Sans se limiter aux seuls systèmes motivés par l'économie, le but est de donner aux étudiants les outils de base pour leur permettre de décrire des exemples de modèles élémentaires en économie, par exemple : gestion flux et de stocks, ajustement continu de prix en fonction de l'offre et de la demande, ou encore stabilité de l'équilibre de modèles non linéaires de croissance monétaire : e.g. le modèle de Tobin, ou le modèle de croissance économique cyclique de Goodwin, qui est la version en économie du célèbre modèle d'interaction proies/prédateurs de Lotka-Volterra, et qui et donc un exemple de modèle très simple, mais capable de prédire l'existence de cycles en économie ...

Descriptif du Cours

Une partie (importante !) du cours vise à consolider les fondements de calcul différentiel et d'algèbre linéaire rencontrés dans le premier cycle universitaire, au fur et à mesure de la progression du cours. On précise d'abord le problème de Cauchy pour un système différentiel d'ordre 1, puis le Théorème de Cauchy-Lipschitz : existence (globale, locale), unicité de la solution. On décrit ensuite qualitativement les équations différentielles ordinaires (EDO) scalaires d'ordre 1 : points d'équilibre, stabilité, interprétation graphique. On décrit ensuite en détail la résolution des EDO scalaires (linéaires ) d'ordre 2, puis plus généralement celle des systèmes différentiels linéaires d'ordre 1 en dimension 2 : états stationnaires, étude et tracé des trajectoires, stabilité... On revient ensuite au cas non linéaire : lien avec l'étude du système linéarisé, stabilité ... puis on introduit les notions de fonction de Lyapunov, d'intégrale première, et on présente quelques classes de systèmes typiques : flot-gradient, systèmes Hamiltoniens, exemples de comportement en grand temps, extensions diverses ... Comme indiqué ci-dessus dans les Objectifs du Cours, sans nous limiter aux seuls systèmes motivés par l'économie, on décrira en cours et/ou en TD quelques exemples de modèles élémentaires en économie, e.g. celui de Goodwin.