Intégration, Probabilités et Statistique

Master de Mathématiques, Université de Nice Sophia-Antipolis
Enseignant : P. Del Moral

(Lab. J.A. Dieudonné, Bureau numéro 2W 603, Horaire de bureau [Master Math. I.P.S.] : les vendredis de 14h à 16h)

Objectif du Cours :

• L'un des premiers objectifs de ce cours est d'approfondir l'étude des fondations mathématiques de la théorie des probabilités.
  • Nous soulignerons les interprétations évènementielles modernes de la théorie de la mesure, les constructions de tribus cylindriques, et de mesures trajectorielles, et nous étudierons les théorèmes fondamentaux de Lebesgue, Caratheodory, et de Kolmogorov.
  • Afin d' enrichir cette analyse mathématique, et aiguiser l'intuition probabiliste, nous examinerons en travaux dirigés une série de méthodes de simulation concrètes de mesures de probabilités.
• La seconde partie du cours offre une introduction à la théorie des chaines de Markov.
  • Nous illustrerons ces modèles probabilistes avec un panorama d'exemples élémentaires issus de la physique, de la biologie, et des sciences de l'ingénieur (Marches aléatoires, modèles d'évolution de population, analyse de réseaux de communication, traitement du signal, recherche de lignes de niveaux, optimisation globale,...)
  • Au fil de cette étude, nous soulignerons en travaux dirigés, certains points de contact très fructueux entre la théorie des processus aléatoires, et d'autres thèmes des mathématiques : algèbre matricielle, théorie des graphes, des systèmes dynamiques, et des opérateurs intégraux.
• L'ultime partie de ce cours porte sur certains aspects analytiques, et géométriques de la théorie des probabilités.
  • Nous étudierons les critères classiques de convergence, selon leurs différents degré de précisions, en soulignant les théorèmes limites classiques de Poisson, de De Moivre, et le théorème de la limite centrale. Nous conclurons ce cours par les aspects géométriques des espaces de variables aléatoires de carré intégrable, en soulignant les interprétations projectives des espérances conditionnelles, et des formules de régressions.
  • Nous examinerons en travaux dirigés les applications de l'analyse asymptotique dans l'étude des méthodes de Monte Carlo, et des lois faibles et fortes des grand nombres. Enfin, nous étendrons les formules projectives de régression statiques, au cadre des processus aléatoires. En travaux dirigés, nous construirons ainsi pas à pas le filtre de Kalman-Bucy courament utilisé en ingéniérie, et plus particulièrement en traitement du signal, et en controle optimal.

Ouvrage de référence

Programme des Cours :

	1. Théorie de l'intégration
	- Rappels, approfondissements, et interprétations évènementielles de la théorie de la mesure.
	- Algèbres et tribus cylindriques, construction de mesures trajectorielles
	- Théorèmes d'extension de Lebesgue, Caratheodory, et de Kolmogorov.
	- Méthodes de simulation de mesures de probabilités
	3. Introduction aux processus aléatoires
	- Probabilités et espérances conditionnelles
	- Chaines de Markov discrètes, absolument continues, et abstraites
	- Applications Marches aléatoires, temps d'atteinte, chaines évolutionnaires. Fonctions itérées, algo. de Robbins Monro, recuit simulé, filtrage.
	4. Théorèmes limites et Géométrie Hilbertienne
	- Analyse asymptotique
	(Cv. p.s., en mesure, espaces Lp, cv. faible, théorèmes de Poisson, de De Moivre, et théorèmes de la limite centrale)
	- Géométrie Hilbertienne
	(L'espace L2, projections orthogonales, conditionnement/régression)
	- Lois des grands nombres, , théorème de Weierstrass, méthodes de Monte Carlo, filtre de Kalman-Bucy

Propositions de mémoires de recherches

• Approximations particulaires d'exposants de Lyapunov
• Filtrage non linéaire et méthodes particulaires
• Algorithmes stochastiques
• Fonctions itérées stochastiques et images fractales

Quelques sites (la plupart en anglais) :

Introduction aux Probabilités (cours et exercices)

• Introduction aux Probabilités. P. Del Moral, B. Rémillard, S. Rubenthaler
• Calculus Applied to Probability and Statistics for Liberal Arts and Business Majors. By Stefan Waner and Steven R. Costenoble
• Introduction to Probability. By Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell
• Probability Theory: The Logic of Science. By E.T. Jaynes
• Probability Tutorials. Advanced probability, measure theory. By Noel Vaillant.
• Statistique Médicale En Ligne. Interactive probability and statistics course (in French) with many Java applets, using both real and simulated data.
• Virtual Laboratories in Probability and Statistics. Provides interactive resources for students and teachers.

Simulations et Démonstrations Interactives

• Simulations De la loi uniforme aux équations différentielles stochastiques. Fabien Campillo, Frédéric Cérou, David Miglior.
• Cut the Knot. Probability puzzles.
• Java Demos for Probability and Statistics.
• Probability by Surprise. Teaching by paradox. Graphics and animations developed for teaching intro probability. Susan Holmes, Stanford University.
• Genetic particle models. Applications of particle methods in Robotics; Dieter Fox, Mobile Robotics Research Labratory, , Washington Univ.