Maths for 3D
(Ré)visions de concepts mathématiques pour la 3D
Ces rappels peuvent vous paraître simples (tant mieux) ou vous rappeler des souvenis de terminale. Un peu de révision ne fait jamais de mal.
Dans tout ce qui suit on se place dans un espace de dimension 3.
Les vecteurs sont notés en gras.
Notez vos réponses sur une feuille
Point 3D
Un point $A$ de coordonnées notées $[x_a,y_a,z_a]$, avec $(x_a,y_a,z_a)\in \mathbb{R}^3$, représente une position dans l’espace 3D.
Vecteur
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Définition : soient deux points A et B, de coordonnées respectives $[x_a,y_a,z_a]$ et $[x_b,y_b,z_b]$, le vecteur $AB$ est défini par: $$ \pmb{AB} = [x_b-x_a, y_b-y_a, z_b-z_a] $$
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La norme $L^{2}$ de $\pmb{AB}$ notée $||\pmb{AB}||_{2}$ représente la “distance:” entre les points A et B et vaut:
$$ || \pmb{AB} ||_{2} = | \pmb{AB} | = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 } $$
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Notation : sauf mention contraire on notera $||\pmb{AB}||$ ou $|\pmb{AB}|$ la norme $||\pmb{AB}||_{2}$
Vecteur unitaire
- Définition : Un vecteur $\pmb{v}$ est dit unitaire si sa norme vaut 1: $$ ||\pmb{v}||_{2} = | \pmb{v} | = 1 $$
Colinéarité de deux vecteurs
Soient $\pmb{u,v}$ deux vecteurs, $\pmb{v}$ est colinéaire à $\pmb{u}$ s’il existe un scalaire $k$, tel que: $$ \pmb{v} = k \cdot \pmb{u}\quad\mathrm{avec }\quad k \in \mathbb{R}^{*} $$
Repère de l’espace
Un repère $\mathcal{R}_{O}(\pmb{i},\pmb{j},\pmb{k})$, de l’espace tri-dimensionnel est formé par une origine $O$ et trois vecteurs orthonormaux $(\pmb{i},\pmb{j},\pmb{k})$ partant de $O$ et formant une base :
- Normalisation: $|\pmb{i}| = |\pmb{j}| = |\pmb{k}| = 1$
- Orthogonalité: $ <\pmb{i},\pmb{j}> = 0$ et $ <\pmb{i},\pmb{k}> = 0$ et $ <\pmb{j},\pmb{k}> = 0$
Conséquence : La base orthonormale permet de repérer n’importe quel point ou vecteur de l’espace. En effet, les coordonnées d’un vecteur $\pmb{u}=(u_x,u_y,u_z)$ sont représentées par :
$$ u_x = <\pmb{u},\pmb{i}>\quad u_y = <\pmb{u},\pmb{j}> \quad u_z=<\pmb{u},\pmb{k}> $$
On a donc exprimé les coordonnées du vecteur $\pmb{u}$ dans le repère $\mathcal{R}_{O}(\pmb{i},\pmb{j},\pmb{k})$. On parle aussi de projection d’un vecteur dans une base ou encore de changement de repère.
Donnez un exemple de coordonnées pour $\pmb{i}$, $\pmb{j}$,$\pmb{k}$ et $O$
Opérations sur les vecteurs
Produit scalaire
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Définition : Le produit scalaire de deux vecteurs $\pmb{u}$ et $\pmb{v}$, noté $<\pmb{u},\pmb{v}>$ est un scalaire donné par:
$$ <\pmb{u},\pmb{v}> = ||\pmb{u}||\cdot ||\pmb{v}|| \cos(\pmb{u},\pmb{v}) $$
où $\cos(\pmb{u},\pmb{v})$ représente le cosinus de l’angle entre les vecteurs $\pmb{u}$ et $\pmb{v}$
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Donnez l’expression du produit scalaire pour les vecteurs unitaires
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Donnez une borne inférieure et supérieure du produit scalaire de deux vecteurs unitaires
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Norme et produit scalaire
- Quel est le produit scalaire d’un vecteur $\pmb{u}$ avec lui même: ???
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Vecteurs orthogonaux
On dit que deux vecteurs $\pmb{u,v}$ sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : $$ \big(\pmb{u}\quad\text{orthogonal à}\quad\pmb{v} \big) \equiv \quad <\pmb{u},\pmb{v}> = 0 $$
Produit vectoriel
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Définition : le produit vectoriel de deux vecteurs $\pmb{u}$ et $\pmb{v}$, noté $\pmb{u} \times \pmb{v}$ est un troisième vecteur $\pmb{w}$ qui est orthogonal à la fois à $\pmb{u}$ et à $\pmb{v}$
$$ \pmb{w} = \pmb{u} \times \pmb{v} $$
De plus $$ ||\pmb{w}|| = || \pmb{u} \times \pmb{v} || = ||u||\cdot||v|| \sin(\pmb{u},\pmb{v}) $$
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Donnez l’équation analytique des coordonnées de $\pmb{w}$ en fonction des coordonnées de $\pmb{u}$ et $\pmb{v}$
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Démontrez que deux vecteurs colinéaires ont un produit vectoriel nul
Droite en 3D
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Définition : Une droite $D$ en 3D est définie par un vecteur $\pmb{v}$ et un point $A$.
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Donnez l’équation paramétrique d’une droite en 3D en fonction de $\pmb{b}$ et de $A$ On notera $D(t)\quad\mathrm{avec}\quad t\in\mathbb{R}$, cette droite.
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Notez qu’il est possible aussi de définir une équation implicite de la droite. Pour ce faire on se munit d’un vecteur $\pmb{n}$, l’ensemble des points $P$ décrivant la droite doivent vérifier l’équation implicite: $$ <\pmb{n},(\pmb{P-A})> = 0 $$
Rayon
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Définition : un rayon est une demi-droite orientée avec un point d’origine $O=[o_x,o_y,o_z]$ et une direction $\pmb{d}=[d_x,d_y,d_z]$
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Donnez l’équation paramétrique d’un rayon $r(t)\quad\text{avec}\quad t \in \mathbb{R}$ en 3D
Plan
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Définition : Soit un point $A$ de l’espace 3D et deux vecteurs non-colinéaires $\pmb{d_1}$ et $\pmb{d_2}$. Le plan est défini par l’ensemble des points $P$ générés par l’équation paramétrique : $$ P(t_1,t_2) = A + t_1 \pmb{d_1} + t_2 \pmb{d_2} \quad \mathrm{avec} \quad (t_1,t_2) \in \mathbb{R}^2 $$
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La normale au plan est définie par le vecteur $\pmb{n} = \frac{\pmb{d_1} \times \pmb{d_2}}{|\pmb{d_1}\times\pmb{d_2}|}$
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Equation implicite générale d’un plan :
Un plan peut aussi être défini par un vecteur normal $\pmb{n}=[n_x,n_y,n_z]$ et un point $A=[x_a,y_a,z_a]$ lui appartenant.
$$ a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + e = 0 $$ où $(a,b,c,e)$ sont des nombres réels.
Donnez l’équation analytique en fonction de $\pmb{n}$ et $A$
L’équation du plan est donné par : $$ \mathrm{Plan}\quad\mathcal{P} : n_x \cdot x + n_y \cdot y + n_z \cdot z + e = 0 $$
comme A appartient au plan il doit vérifier l’équation ci-dessus: $$ n_x \cdot x_a + n_y \cdot y_a + n_z \cdot z_a + e = 0 \Rightarrow e = - n_x \cdot x_a - n_y \cdot y_a - n_z \cdot z_a $$
Faisceau de Plans
- Soit une normale $\pmb{n}$, il existe une infinité de plans parallèles entre eux qui possèdent la même normale $\pmb{n}$.
Intersection Plan et Rayon
- Etablit une condition nécessaire pour que le rayon intersecte le plan
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Il y a deux cas pathologiques:
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Le rayon est hors du plan et parallèle à celui ici (aucune solution). Mathématiquement la condition est $<\pmb{d}, \pmb{n}> = 0$ et $S \notin \mathcal{P}$
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Le rayon est contenu dans le plan. L’intersection est égale au rayon et infini donc.
Mathématiquement si le rayon appartient au plan alors son point de départ $S=[s_x,s_y,s_z]$ doit vérifier l’équation implicite du plan: $$ n_x \cdot s_x + n_y \cdot s_y + n_z \cdot s_z + e = 0 $$
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Intersection:
Soit $ r(t) = S + t\cdot\pmb{d}\quad \mathrm{avec} \quad t\in\mathbb{R}_{+} \quad {et} \quad \pmb{d} = [d_x, d_y, d_z]$; pour trouver l’intersection du plan et du rayon, on remplace $r(t)$ dans l’équation implicite du plan :
\begin{align} n_x \cdot (x_s + t\cdot d_x) + n_y \cdot (y_s + t\cdot d_y) + n_z \cdot (z_s + t\cdot d_z) + e &= 0 \\ t \cdot (n_x \cdot d_x + n_y \cdot d_y + n_z \cdot d_z ) + n_x \cdot x_s + n_y \cdot y_s + n_z \cdot z_s + e &= 0 \\ t = \frac{- (e + n_x \cdot x_s + n_y \cdot y_s + n_z \cdot z_s) }{n_x \cdot d_x + n_y \cdot d_y + n_z \cdot d_z} \tag{1} \end{align}
On remarque que pour le dénominateur de l’équation (1) ne soit pas nulle il faut que le rayon ne soit pas parallèle au plan.
Intersection Rayon et Sphère
Soit une sphère de centre $C=[x_c, y_c,z_c]$ et de rayon $R_c > 0$, son équation implicite est donnée par : $$ \mathrm{Sphere}\quad{\mathcal{C}:} \quad (x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 + (z-z_c)^2 = R^{2}_{c} $$
Pour trouver l’intersection entre le rayon $r(t)$ et la sphère on injecte l’équation du rayon et on résoud en fonction de $t$. Comme c’est une équation quadratique il peut y avoir zéro (i.e., rayon passe à côté del a sphère), une (i.e., rayon tangent à la sphère) ou encore deux solutions (i.e.,rayon traverse la sphère).
Cela donne : \begin{align} (x_s + t\cdot d_x - x_c)^2 + (y_s + t\cdot d_y - y_c)^2 + (z_s + t\cdot d_z - z_c)^2 &= R^{2}_c\\ t^2 (d^{2}_x + d^{2}_y + d^{2}_z) + t \big( 2 (x_s\cdot d_x + y_s\cdot d_y + z_s\cdot d_z) - 2 (x_c\cdot d_x + y_c\cdot d_y + z_c\cdot d_z) \big) + ||\pmb{CS}||^{2} &= R^{2}_c \tag{2} \end{align}
Si l’on considère que la direction $\pmb{d}$ du rayon $r(t) = S + t\cdot \pmb{d}$ est normalisée on a alors $$ ||\pmb{d}|| = 1 \Rightarrow ||\pmb{d}||^2=1 \Rightarrow d^{2}_x + d^{2}_y + d^{2}_z = 1 $$
L’équation quadratique (2) peut alors s’écrire:
\begin{aligned} &t^2 + \bigg(2\;( x_s\cdot d_x + y_s\cdot d_y + z_s\cdot d_z - x_c\cdot d_x - y_c\cdot d_y - z_c\cdot d_z) )\bigg) \cdot t + ||\pmb{CS}||^{2} - R^{2}_{c} = 0 \\ &t^2 + \bigg( 2\;( d_x (x_s-x_c) + d_y (y_s - y_c) + d_z (z_s - z_c) ) \bigg) \cdot t + ||\pmb{CS}||^{2} - R^{2}_c = 0 \\ &t^2 + (2 < \pmb{d}, S-C>)\cdot t + ||\pmb{CS}||^{2} - R^{2}_c = 0 \\ \end{aligned}
Attention, résoudre l’équation quadratique ci-dessus revient à résoudre l’équation d’une droite avec une sphère, or nous cherchons les intersections entre le rayon $r(t)$ et la sphère, il faut donc prendre uniquement $t > 0$ positifs. Cela revient à ne prendre comme points d’intersection que ceux qui se trouvent “au devant” du rayon.