Ingénierie Stochastique [M2 MASS]



Ingénierie Stochastique



Module Ouvert - Premier semestre
Charge planifiée : Cours : 20 heures, TP : 10 heures

Enseignant : P. Del Moral .


Objectif du Cours

Le but de ce cours est de parcourir les principaux éléments de la modélisation stochastique, et de la simulation numérique. Ce voyage ne nécessite aucun bagage spécifique sur la théorie des processus stochastiques, sinon les quelques outils de modélisation sur les chaines de Markov, et les techniques de simulation présentées dans le cours Méthodes de Monte-Carlo . Quelques éléments sur la théorie de systèmes dynamiques déterministes permettrons d'apprécier la beauté de certains paysages. En effet, d'un point de vue purement mathématique, la théorie des processus stochastiques est une extension naturelle de la théorie de systèmes dynamiques à des phénomènes aléatoires se déroulant dans le temps. Néanmoins, comme le souligne Ian Stewart dans son ouvrage "Dieu joue-t-il aux dés, les mathématiques du chaos", chez Champs Flammarion (1992), le mot grec "stochastikos" signifie ``habile a viser'', et ``transmet ainsi l'idée de l'utilisation contemporaine des lois du hasard en vue d'avantages personnels''. L'un des objectif de ce cours est de préciser ces idées sous des angles de vues mathématiques et pratiques.
La nature aléatoire de ces systèmes dynamiques provient de trois sources distinctes :

Tout d'abord, les fluctuations aléatoires de certaines grandeurs physiques ou biologiques, telles la répartition de la chaleur ou l'évolution de populations génétiques, l'évolution des prix des actions financières sont souvent le reflet d'un processus chaotique. D'autre part, la plupart des processus aléatoires formalisés sont des modèles simplifiés ne rendant compte que d'une partie du phénomène étudié. Dans ce contexte, les erreurs de modèles, ou tout autre quantité influant sur son évolution (paramètres de controles, perturbations de mesures) peuvent etre représentées par des variables aléatoires. Leur nature probabiliste est souvent dictée par une connaissance a priori du système. Enfin, dans le cadre des algorithmes stochastiques, les composantes aléatoires du système permettent d'augmenter les capacités d'exploration et d'adaptation du modèle. Ces trois aspects sont développés dans ce cours sous des angles théoriques et pratiques, en insistant sur les fondations mathématiques, tout en illustrant chaque modèle par une variété d'applications issues de domaines scientifiques connexes.

L'ingénierie stochastique est essentiellement consacrée à l'analyse de deux classes de modèles probabilistes : Ces deux notions sont loin d'etre sans rapport. En effet, la plupart des algorithmes stochastiques modernes sont fondés sur des mécanismes de recherche mimant des processus d'exploration et d'adaptation biologiques ou physiques : Les fonctions itérées aléatoires simulent l'élaboration naturelle et chaotique de formes symétriques complexes, telles les flocons de neige ou d'autres paysage fractals. L'algorithme de Robbins-Monro simule un processus d'apprentissage humain de recherche d'un dosage optimal, en observant les différents effets et réactions au produit. Le recuit simulé mime le refroidissement d'un métal vers un état solide stable et optimal. Les algorithmes génétiques, et les arbres généalogiques correspondants, font actuellement partie des techniques de résolution les plus avancées en statistique bayesienne, en traitement du signal, en analyse d'évènements rares, ainsi qu'en physique et chimie quantique.

Afin d'admirer cette scène interdisciplinaire, j'ai choisi d'articuler ce cours autour de deux axes : La première partie du cours synthétise les principales notions de modélisation markovienne. Nous examinons l'expression de ces modèles mathématiques formalisés dans une variété d'applications : description de capteurs en traitement du signal, processus de branchements, évolution génétiques, dynamiques d'exploration par renforcement, représentation microscopiques d'évolution de quantités physiques. La seconde partie du cours concerne les algorithmes d'exploration et d'adaptation stochastiques. Nous soulignons la performance de ces modèles probabilistes dans la résolution de problèmes classiques de l'ingénierie mathématique : description et analyse d'image, recherche de dosages, optimisation globale, filtrage de signaux linéaires-gaussiens, traitement de signaux non linéaires, estimation des volatilités de marchés financier,...


Sommaire


Corrections et références

Travaux Pratiques


Chaque étudiant réalisera des travaux pratiques informatiques portant sur les problèmes d'engénierie stochastiques décrits dans le cours.


Bibliographie



Quelques cours en ligne



Démonstrations Interactives

Animations et Simulations

Simulations d'images fractales

Algorithmes génétiques en ingénierie